Jerarquía de operaciones (orden de las operaciones)

Cuando se realizan operaciones aritméticas de forma combinada como la siguiente:
5+8x7-3
puede haber distintos resultados.
Muchas veces se resuelven de izquierda a derecha y el resultado es:
5+8 = 13
           13 x 7 = 91
                         91 - 3 = 88
Pero se ha establecido un orden o jerarquía para resolverlas  y es el siguiente.....
1º  Las operaciones entre paréntesis (corchetes o llaves).
2º  Las potencias y raíces.
3º  Los productos y cocientes (multiplicaciones y divisiones).
4º  Las adiciones y sustracciones (sumas y las restas).

Esta jerarquía incluye mas operaciones pero las mencionadas son las que se ocuparan por lo pronto.
Siguiendo el orden anterior el resultado debe ser :
5 + 8x7 - 3            resolvemos primero la multiplicación 8x7 =56
5+  56 - 3               ahora podemos resolver la suma y después la resta
61 - 3 = 58

Nota: las calculadoras denominadas científicas y las hojas de calculo electrónicas respetan esta jerarquía.

Otro ejemplo:
3x4 + 6 - 30÷5 + (3 + 2)x3 =                    primero resolvemos la operación entre paréntesis.
3x4 + 6 - 30÷5 +    (5)x3    =                    ahora resolvemos los productos y cocientes.
12   + 6 -     6   +    15        =                    ahora las sumas y las restas.
= 27

Si usamos los paréntesis en lugar del signo "x" para multiplicar y "/" en lugar de "÷" para dividir ....
(3)(4) + 6 - 30/5 + (3 +2 )(3)=
(3)(4) + 6 - 30/5 + (5)(3)=
12 + 6 - 6 + 15 =
27
Con practica se pueden ahorrar varios pasos y resolverlas mas rápido.

Proporcionalidad

Proporcionalidad directa.

Es la relación que existe entre dos cantidades las cuales presentan una razón constante, como por ejemplo la cantidad de dinero que se necesita para pagar las entradas al cine y la cantidad de entradas.

• Si compro tres entradas requiero $150.00
• Si compro cinco entradas se necesitan $250.00
• Para seis entradas se requieren $300.00

Si se divide la cantidad de dinero entre la cantidad de entradas resulta en cada caso el mismo valor, en este caso 50. Este valor es la constante de proporcionalidad,  es decir el precio de una entrada o valor unitario.
150 / 3 = 50
250 / 5 = 50
300 / 6 = 50
Si "d" es la cantidad de dinero y "e" es la cantidad de entradas y "k" la constante de proporcionalidad o precio de una entrada entonces se pueden establecer las relaciones siguientes:

d/e = k           "La cantidad de dinero (d) dividido entre la cantidad de entradas (e) es igual a el precio de una entrada (k)"
 Por ejemplo:
$500 / 10 = $50
$1200 / 24 = $50

e·k = d          "La cantidad de entradas (e) por el precio de una (k) es igual a la cantidad de dinero requerido (d)"
Por ejemplo:
( 4 )( $50) = $200
( 7 )( $50) = $350


d/k = e           "La cantidad de dinero (d) dividido entre el precio de una entrada (k) es igual al numero de entradas que se pueden comprar (e)"
Por ejemplo:
$500 / $50  = 10 entradas
$12000 / $50 = 240 entradas
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Esto es cierto incluso para valores decimales, fraccionarios o números con signo ( que son los que hemos usado hasta segundo grado de la escuela secundaria)

$30.5  / $50 = 0.61  "Con 30 pesos y 50 centavos compro 0.6 entradas, es decir que representa un poco mas de media entrada"

-$50 / $50 = -1   " En este caso la operación no tiene sentido un sentido real, pero si existieran los pesos negativos, 50 de ellos me alcanzarían para una entrada negativa, !si es que eso existe¡"

En todo caso puede representar que si debo $50 pesos es porque debo una entrada.
Y si debo $300 pesos es porque debo 6 entradas:
-$300 / $50 = -6
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También la constante de proporcionalidad puede ser negativa:
Al acercarse el invierno en cierta región del planeta después que la temperatura promedio desciende a cero grados, cada día que pasa la temperatura desciende 0.5 grados 
Si "d" son los días y "t" es la temperatura

d    t
1   -0.3
2   -0.6
3   -0.9
4   -1.2

Se cumple que t / d = k
-0.3 / 1 = -0.3
-0.9 / 3 = -0.3
etc.

Aunque a veces se dice que en la proporcionalidad directa al aumentar una cantidad la otra aumenta esto no es exacto porque en este ejemplo se ve que al aumentar los días la temperatura disminuye, pero sin embargo es una proporcionalidad directa.
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Proporcionalidad inversa

En este caso el producto de las cantidades que intervienen es constante.

Si usamos de nuevo las compras para ejemplificar:

Si tengo $300.00  ( representados por la letra "k") para comprar cuadernos ¿cuantos puedo comprar?

Si "p" es el precio de los cuadernos y "c" el número de cuadernos.

  p         c

  10       30

  20       15

  30       10

  40       7.5

  50       6

Quizá en el caso de un precio de $40.00 se piense que no se puede comprar siete y medio cuadernos pero matemáticamente es cierto.

En este caso se cumple que:

p·c = k        "El precio de un cuaderno por el número de cuadernos es igual el dinero que tengo para comprarlos ( el cual no cambia o es constante)"

$10 (30) = $300

$30 (10) = $300

$40 (7.5) = $300

etc.

ademas se cumple también:

k / c = p

y

k / p = c

Prismas y piramides

Prisma

Un prisma es un sólido con caras planas (poliedro) que tiene dos caras iguales y paralelas unidas por rectángulos si es un prisma rectangular o por paralelogramos en otros casos.

El volumen del prisma es igual a: el área de la base multiplicado por la altura.

Ve lo siguiente:

Pirámide

Una pirámide tiene una cara o base en forma de polígono y caras laterales en forma de triángulo.

El volumen de una pirámide es igual a: el área de la base multiplicado por la altura y dividido entre 3

Si un prisma tiene la misma base y la misma altura que una pirámide, la pirámide tendrá un tercio de el volumen del prisma.

Y si quieres dibujar los sólidos en perspectiva y sombreados ve lo siguiente:

http://www.youtube.com/watch?v=6-nSriC6Arw

Algebra

Algebra

Desde hace muchos siglos al momento al resolver un problema se ha necesitado representar cantidades que no se conocen de diferentes formas, por ejemplo si yo digo: “Voy a tener alguna cantidad de pesos después de vender una mesa que no uso, y la cuarta parte de esa cantidad de pesos la voy a guardar como ahorro”

Puedo cambiar “alguna cantidad” por  la letra “d” y entonces simplemente diría:

Voy a tener “d” pesos después de vender una mesa que no uso,

Y voy a guardar “d/4” pesos como ahorro

En este caso no parece que se tenga ninguna ventaja en hacer ese cambio pero permitirá hacer toda clase de operaciones aritméticas sobre esa cantidad, por ejemplo:

El dinero ahorrado después de vender 5 mesas: d/4 + d/4 + d/4 + d/4 + d/4

O también: 5 (d/4)  

Que representa  “cinco veces la cuarta parte del dinero que reciba por vender la mesa”

Otro ejemplo:

¿Cómo representar el perímetro de un pentágono regular?

Diríamos que el perímetro es “la suma de la medida de los cinco lados” y si la medida de un lado es “m” entonces su perímetro es

m+m+m+m+m

O también

5(m)

Las expresiones como 5(d/4)    y    5(m)  se pueden escribir como  5·d/4   y   5·m  y reciben el nombre de monomios porque solo involucran las operaciones de división,  multiplicación y potenciación.

Si sumamos dos o más monomios como 5d/4 + 5m se obtiene un polinomio que en este caso está formado por dos términos. El primer término en color rojo y el segundo en color verde separados por el signo de suma.

Expresión algebraica	Numero de términos	Denominación
d	1	Monomio
4d	1	Monomio
3.141592d	1	Monomio
4d·f·g·h3	1	Monomio
3f + h	2	Binomio o polinomio de dos términos
d + g + h	3	Trinomio o polinomio de 3 términos
4d + 3f + 5t/4 + 6	4	Polinomio de 4 términos

Observa que la multiplicación se representa con paréntesis o un punto o nada 4·d = 4(d) = 4d,  pero no se usa el signo “x”.

Monomios y polinomios

Literal: se usa un letra para representar una cantidad en forma general o cuando es desconocida.

Monomio: Esta formado por el producto o cociente de un numero (coeficiente) y una o mas literales con sus respectivos exponentes.

Polinomios: Están formados por la suma o resta de dos o mas monomios que al formar el polinomio se llamaran términos.

Términos semejantes: Cuando en un polinomio se tienen términos con las mismas literales y afectadas por los mismos exponentes se dice que son términos semejantes y pueden ser reducidos a uno solo.
Por ejemplo:
t + t + t + t = 4t
3f + 5g + 7f  =  10f + 5g