Jerarquía de operaciones (orden de las operaciones)

Cuando se realizan operaciones aritméticas de forma combinada como la siguiente:
5+8x7-3
puede haber distintos resultados.
Muchas veces se resuelven de izquierda a derecha y el resultado es:
5+8 = 13
           13 x 7 = 91
                         91 - 3 = 88
Pero se ha establecido un orden o jerarquía para resolverlas  y es el siguiente.....
1º  Las operaciones entre paréntesis (corchetes o llaves).
2º  Las potencias y raíces.
3º  Los productos y cocientes (multiplicaciones y divisiones).
4º  Las adiciones y sustracciones (sumas y las restas).

Esta jerarquía incluye mas operaciones pero las mencionadas son las que se ocuparan por lo pronto.
Siguiendo el orden anterior el resultado debe ser :
5 + 8x7 - 3            resolvemos primero la multiplicación 8x7 =56
5+  56 - 3               ahora podemos resolver la suma y después la resta
61 - 3 = 58

Nota: las calculadoras denominadas científicas y las hojas de calculo electrónicas respetan esta jerarquía.

Otro ejemplo:
3x4 + 6 - 30÷5 + (3 + 2)x3 =                    primero resolvemos la operación entre paréntesis.
3x4 + 6 - 30÷5 +    (5)x3    =                    ahora resolvemos los productos y cocientes.
12   + 6 -     6   +    15        =                    ahora las sumas y las restas.
= 27

Si usamos los paréntesis en lugar del signo "x" para multiplicar y "/" en lugar de "÷" para dividir ....
(3)(4) + 6 - 30/5 + (3 +2 )(3)=
(3)(4) + 6 - 30/5 + (5)(3)=
12 + 6 - 6 + 15 =
27
Con practica se pueden ahorrar varios pasos y resolverlas mas rápido.

Proporcionalidad

Proporcionalidad directa.

Es la relación que existe entre dos cantidades las cuales presentan una razón constante, como por ejemplo la cantidad de dinero que se necesita para pagar las entradas al cine y la cantidad de entradas.

• Si compro tres entradas requiero $150.00
• Si compro cinco entradas se necesitan $250.00
• Para seis entradas se requieren $300.00

Si se divide la cantidad de dinero entre la cantidad de entradas resulta en cada caso el mismo valor, en este caso 50. Este valor es la constante de proporcionalidad,  es decir el precio de una entrada o valor unitario.
150 / 3 = 50
250 / 5 = 50
300 / 6 = 50
Si "d" es la cantidad de dinero y "e" es la cantidad de entradas y "k" la constante de proporcionalidad o precio de una entrada entonces se pueden establecer las relaciones siguientes:

d/e = k           "La cantidad de dinero (d) dividido entre la cantidad de entradas (e) es igual a el precio de una entrada (k)"
 Por ejemplo:
$500 / 10 = $50
$1200 / 24 = $50

e·k = d          "La cantidad de entradas (e) por el precio de una (k) es igual a la cantidad de dinero requerido (d)"
Por ejemplo:
( 4 )( $50) = $200
( 7 )( $50) = $350


d/k = e           "La cantidad de dinero (d) dividido entre el precio de una entrada (k) es igual al numero de entradas que se pueden comprar (e)"
Por ejemplo:
$500 / $50  = 10 entradas
$12000 / $50 = 240 entradas
______________________________________________________________________
Esto es cierto incluso para valores decimales, fraccionarios o números con signo ( que son los que hemos usado hasta segundo grado de la escuela secundaria)

$30.5  / $50 = 0.61  "Con 30 pesos y 50 centavos compro 0.6 entradas, es decir que representa un poco mas de media entrada"

-$50 / $50 = -1   " En este caso la operación no tiene sentido un sentido real, pero si existieran los pesos negativos, 50 de ellos me alcanzarían para una entrada negativa, !si es que eso existe¡"

En todo caso puede representar que si debo $50 pesos es porque debo una entrada.
Y si debo $300 pesos es porque debo 6 entradas:
-$300 / $50 = -6
______________________________________________________________________

También la constante de proporcionalidad puede ser negativa:
Al acercarse el invierno en cierta región del planeta después que la temperatura promedio desciende a cero grados, cada día que pasa la temperatura desciende 0.5 grados 
Si "d" son los días y "t" es la temperatura

d    t
1   -0.3
2   -0.6
3   -0.9
4   -1.2

Se cumple que t / d = k
-0.3 / 1 = -0.3
-0.9 / 3 = -0.3
etc.

Aunque a veces se dice que en la proporcionalidad directa al aumentar una cantidad la otra aumenta esto no es exacto porque en este ejemplo se ve que al aumentar los días la temperatura disminuye, pero sin embargo es una proporcionalidad directa.
______________________________________________________________________

Proporcionalidad inversa

En este caso el producto de las cantidades que intervienen es constante.

Si usamos de nuevo las compras para ejemplificar:

Si tengo $300.00  ( representados por la letra "k") para comprar cuadernos ¿cuantos puedo comprar?

Si "p" es el precio de los cuadernos y "c" el número de cuadernos.

  p         c

  10       30

  20       15

  30       10

  40       7.5

  50       6

Quizá en el caso de un precio de $40.00 se piense que no se puede comprar siete y medio cuadernos pero matemáticamente es cierto.

En este caso se cumple que:

p·c = k        "El precio de un cuaderno por el número de cuadernos es igual el dinero que tengo para comprarlos ( el cual no cambia o es constante)"

$10 (30) = $300

$30 (10) = $300

$40 (7.5) = $300

etc.

ademas se cumple también:

k / c = p

y

k / p = c